مانند سؤال ۵ فعالیت بالا، ثابت کنید که حاصل ضرب یک عدد زوج در یک عدد فرد، عددی زوج است.
الف) چند مثال بزنید.
ب) به صورت جبری ثابت کنید:
**بله**، حاصل‌ضرب یک عدد زوج در یک عدد فرد، همیشه عددی زوج است.
**الف) چند مثال عددی:**
- $ ۲ \times ۳ = ۶ $
- $ ۴ \times ۵ = ۲۰ $
- $ ۸ \times ۷ = ۵۶ $
**ب) اثبات جبری:**
یک عدد زوج را به صورت $۲n$ و یک عدد فرد را به صورت $۲m-۱$ نمایش می‌دهیم (که $n$ و $m$ اعداد طبیعی هستند).
حاصل‌ضرب آنها برابر است با:
$ (۲n) \times (۲m-۱) $
با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، $۲n$ را در پرانتز ضرب می‌کنیم:
$ (۲n)(۲m) - (۲n)(۱) = ۴nm - ۲n $
حال می‌توانیم از عبارت به دست آمده، عدد ۲ را فاکتور بگیریم:
$ ۴nm - ۲n = ۲(۲nm - n) $
از آنجایی که نتیجه به صورت $ ۲ \times (\text{یک عدد صحیح}) $ است، پس حاصل‌ضرب یک عدد زوج در یک عدد فرد همیشه عددی زوج خواهد بود.
